Turunan Parsial

HUBUNGAN ANTARA TURUNAN PARSIAL DAN KEKONTINUAN FUNGSI DENGAN DUA PEUBAH

Defenisi :

1. Turunan parsial pertama dari fungsi z = f (x, y) terhadap perubah x di titik (x_o, y_o) dituIis

dengan

δf

— (x_o, Y_o) atau fx (x_o, y_o) dan didefenisikan sebagai:

δx

f[(x_o + Δx),y_o] – f(x_o,y_o)

fx (x_o,y_o) = lim —————————–

Δx → 0 Δx

bilamana limit tersebut ada.

2. Turunan parsial pertama dari fungsi z = f(x, y) terhadap perubah y di titik (x_o, Y_o) dapat ditulis dengan

δf

— (x_o, Y_o) atau fy (x_o, y_o) dan didefenisikan sebagai:

δy

f [x_o, (y_o + Δy)] – f (x_o, y_o)

fy(x_o,y_o) = lim ——————————-

Δy → o Δy

bilamana limit tersebut ada.

3. Fungsi z = f(x, y) dikatakan kontinu di titik (x_o, y_o) jika

a. lim f(x,y) = L

x→x_o

y→y_o

b. f (x_o, y_o) harus ada

c. f (x_o, y_o) = L

Dilakukan pengamatan terhadap fungsi-fungsi tersebut. Apabila ternyata dari pengamatan ini fungsi z = f (x, y) kontinu maka dilanjutkan pengamatan apakah fungsi ini mempunyai turunan parsial pertama di titik (x_o, y_o). Jika ternyata fungsi z = (f (x, y) tidak kontinu di titik(x_o, y_o) dilanjutkan dengan pengamatan apakah fungsi ini mempunyai turunan parsial pertama di titik (x_o, y_o). Selanjutnya asing-masing fungsi yang mempunyai turunan parsial di titik (x_o, y_o) diamati pula apakah turunan parsial pertamanya kontinu di titik (x_o, y_o).

Dengan demikian hubungan antara turunan parsial dan kekontinuan fungsi dengan dua peubah dapat diketahui, yaitu apakah ada fungsi dengan dua peubah z = f (x, y) yang kontinu di suatu titik (x_o, y_o) tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut. Selanjutnya apakah ada fungsi yang tidak kontinu z = f (x, y) di suatu titik (x_o, y_o) tetapi mempunyai turunan parsial pertama di titik (x_o, y_o) dan turunan parsialnya tersebut tidak kontinu di titik (x_o, y_o). Di samping hal tersebut apakah ada fungsi yang kontinu z = f (x, y) dan mempunyai turunan parsial di titik (x_o, y_o) tetapi turunan parsial pertamanya ini tidak kontinu di (x_o, y_o).

z = f (x, y) = (X² + Y²)^1/2 ; di titik M (0, 0).

Fungsi z = f (x, y) ini kontinu di titik M (0, 0) karena memenuhi syarat kekontinuan suatu fungsi, bahkan kontinu di setiap titik pada R². Untuk jelasnya dibuktikan sebagai berikut:

lim f (x, y) = lim (x2 + Y11/2 = 0

(x,y) → (X{xo,yo) (x,y) → (O,O)

f(x0, y0) = f(0,0) = (0² + 0²)^1/2 = 0

dan lim f (X, y) = f (xo, YO) = 0

(x,y)→(x0,y0)

Dengan demikian dapat dilihat fungsi z = f (X, y) = (x² + Y²)^1/2 adalah suatu fungsi dengan dua peubah yang kontinu di titik M (0, 0), karena memenuhi syarat-syarat kekontinuan suatu fungsi.

Pengamatan dilanjutkan dengan apakah fungsi z = f (x, y) = (x² + y²)^1/2 mempunyai turunan parsial pertama baik terhadap peubah x maupun terhadap peubah y

δz f[ (x0, + Δx), y0] – f (x0,y0)

(—) (x0,y0) = lim ———————————–

δx Δy →0 Δx

δz [(x0 +Δx)² + y²0]^1/2 – (x²0 + y²0)^1/2

(— ) (x0,y0) = lim ——————————————

δx Δx→0 Δx

δz [(Δx)²]^1/2 – |Δx|

(— ) (x0,y0) = lim ————– =lim —— = tidak ada

δx Δx→0 Δx ^Δx-0 Δx

Jadi jelaslah turunan parsial pertama terhadap Peubah x dari fungsi z = f(x,y) =(x² +y²)^1/2 tidak ada.

Berikutnya diadakan penelitian terhadap peubah y.

δz f[ (x0,(y0 + Δy)] – f (x0,y0)

(—) (x0,y0) = lim ———————————–

δy Δy →0 Δy

äz [(x²0 +( y0 +Δy)²]^1/2 – (x²0 + y²0)^1/2

(— ) (x0,y0) = lim ——————————————

δy Δy →0 Δy

δz [(Δy)²]^1/2 – |Δy|

(— ) (0,0) = lim ————– =lim —— = tidak ada

δy Δy→0 Δy ^Δy-0 Δy

Dengan demikian fungsi dengan dua peubah z = (X2 + Y1:L-7. kontinu di titik M (0, 0), akan tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai turunan parsial baik terhadap peubah x maupun terhadap peubah y. Sehingga dapat dikatakan bahwa:Dapat ditemukan fungsi dengan dua peubah yang kontinu di suatu titik tertentu(xo, yo) akan tetapi tidak mempunyai turunan parsial pertama di titik (xo, Yo).

Selanjutnya untuk menjawab permasalahan kedua, perhatikan fungsi .dengan dua peubah z = f (x, y) sebagai berikut:

xy

Z = f(x,y) = —— —; (x,y) ≠(0,0)

X² + y²

0 ; (x,y) = (0,0)

Dilakukan pengamatan terhadap kekontinuan fungsi ini di titik M (0, 0) sebagai berikut :

xy

Teliti kekontinuan z = —– di titik M (0, 0).

X² +y²

Untuk ini kita perhatikan keadaan fungsi tersebut di sepanjang sumbu x dan di sepanjang garis y = x ;

Disepanjang sumbu x:

Lim 0 =0

(x,y) → (0,0)

Di sepanjang garis y = x:

X² x²

L = lim —– = lim —– = ¹/₂

X → 0 x² + x^{2 x→0} 2x²

Dengan demikian berarti bahwa Limit f (x,y) di M (x0,y0) tidak ada, sehingga salah satu syarat kekontinuan suatu fungsi dengan dua peubah tidak terpenuhi, maka fungsi:

Z = f(x,y) = —— —; (x,y) ≠(0,0)

X² + y²

0 ; (x,y) = (0,0)

tidak kontinu di titik M ( 0,0)

Kemudian diadakan pengamatan terhadap turunan parsial pertamanya di titik M(0,0) apakah turunan parsialnya ini kontinu atau tidak di titik M (0,0).

Turunan parsial pertama terhadap peubah x dari fungsi:

xy

Z = f(x,y) = —— —; (x,y) ≠(0,0)

X² + y²

0 ; (x,y) = (0,0)

adalah :

δz f[ (x0, + Δx), y0] – f (x0,y0)

(—) (x0,y0) = lim ———————————–

δx Δy→0 Δx

δz f[ (Δx,0 ) – f (0,0)

(—) (0,0) = lim ———————————–

δx Δx →0 Δx

0-0

= lim —— =0 ; ada

Δx→0 Δx

Sedangkan turunan parsial pertama terhadap peubah y adalah :

δz f[ (x0, + Δx), y0] – f (x0,y0)

(—) (x0,y0) = lim ———————————–

δx Δy → 0 Δx

δz f[ (Δx,0 ) – f (0,0)

(—) (0,0) = lim ———————————–

δx Δx→ 0 Δx

0-0

= lim —— =0 ; ada

Δx→0 Δx

Dengan demikian terbukti bahwa turunan pertama dari fungsi :

xy

Z = f(x,y) = —— —; (x,y) ≠(0,0)

X² + y²

0 ; (x,y) = (0,0)

mempunyai turunan parsial pertama di titik M (0,0).